メモ of 『高校数学＋α：なっとくの微積・解析』(仮題)

遅くなりました．
ライプニッツによる微積分学の基本定理の導出です．
biseki_2.2.pdf （2011/10/05 多少の校正．thanks to さちこさん）

微分の章を普通に書き始めましたが，気にくわなくて，全く筆が進まなくなってしまいました．

というわけで，全く新しい観点から書き始めました．しばらくの間は厳密さに拘らず，微積分学の基本定理を導出するまでことを含めた微積分の基本を第2章とする予定です．

biseki_2.1pdf （2011.09.14 §§から§に変更）

遅まきながら，§§1.4.4 公理化― 数学の抽象化・形式化 biseki_1.4.4.pdf をアップします（改訂：2010.11.27）．

アルキメデスの原理の証明の際に，実数の切断を用いて，うまい方法を見つけたと思ったのでした．開区間(0, a/b) に無数の実数が存在することまでは簡単に言えたのですが，そのうちの1つでも有理数であることを公理系のみから示すことに失敗していました．よって，よく知られている方法に切り替えて証明し，再アップします．

これで数学史のお話はおしまいです．

一応第1章全体を書き上げましたので，第1章　論証数学の誕生と数の歴史 のファイル ch_1.pdf をアップします（2012.03.27←修正：1.4.3 微分学と実数の連続性 の一部）．
ただし，書き進めるうちに，内容の変更・ページ変更 などは予告なく行われます．
また，出版予定なので，印刷はできません．悪しからず．

様々なトラブルに見舞われて，集中力が減退し，大幅に遅れてしまいました．申し訳ありません．

§§1.4.3 微分学と実数の連続性 をアップします（2010.08.24 校正）．

さちこさん のリクエスト（コマンド）により大幅な改訂を行いました（2010.08.24 ）．

清き one crick please (^^;)

何とか1月中にと頑張って，際どく間に合いました．ここから，近代・現代数学に入っていきます．数学における数の概念の本質に触れ始めました．

§1.4 biseki_1.4.1-1.4.2.pdf

§1.1 〜 §1.3 biseki_1.1-1.3.pdf の最後の部分も校正しています．　（校正：2010.01.27）

何とか11月中にと頑張ったが，僅かに間に合わなかった．思いの外苦労しました．　それでは，できたところまでアップロードします．

第1章論証数学の誕生と数の歴史（←章名変更）

§1.3 が新しく書いた部分ですが，§1.1 から §1.3 までまとめてアップロードします．

§1.1 〜 §1.3 biseki_1.1-1.3.pdf　（校正：2012.02.01）

　§1.1 と §1.2 も僅かな校正をしているかもしれません．

最近気に入っている曲：「恋のマイアヒ〜（Dragostea Din Tei）」で大ヒットした O-ZONEの 「oriunde ai fi」．気に入った方は いろいろなバージョン でどうぞ．
元リーダー ダン バラン の Crazy Loop - Mm ma ma にも填（はま）ってしまった．

清き one crick please (^^;)

　親の七光りだけで大統領になれた幸運な馬鹿もいる．例の9.11同時多発テロを好機とばかりに十字軍を気取ったアフガン・イラク侵攻を行ったが，ずさんな統治計画が露呈してイラク国民は疲弊している．大成功だったのはイスラム国家の破壊だけである．かつての中世十字軍がそうであったように．

続きを読む

　キリスト教がローマ帝国の国教とされ，また，392年には帝国内の異教信仰が禁止されるにいたって，キリスト教はヨーロッパ中に広く普及していった．それとともにローマ教皇の権威は増大し，遂にはカノッサの屈辱（1077年）に象徴されるように，皇帝の権威をも上回るほどになっていった．

続きを読む

　1.2 中世の数学 を書く際に中世ヨーロッパの歴史をかなり勉強させられた． 思うところ合って，「異教徒」という言葉の重さについて議論したい．長くなるので，分割してアップロードします．

続きを読む

海外旅行，パソコンいじり，雑事などにかまけているうちに，集中力が無くなってしまった．m(_ _)m
書き出したのはいいが，最初の文章が出てこない．“徒然なるままに”書くのと，本を書くのとの違いかなあ．
でも，書いた中身は決していい加減ではありません．

第1章 論証数学の誕生とその歴史
1.1 古代ギリシャの数学と数 biseki_1.1.pdf （←訂正あり）
1.2 中世の数学 biseki_1.2.pdf （←訂正あり）
続きを読む

何とか2月中に「古代ギリシャ」を上げようと頑張ったが，僅かに間に合わなかった．　それでは，できたところまでアップロードします．
続きを読む

　いよいよ本番の著作に取りかかったが，メモ書きとは大違い．本職でない数学史という分野では，この人のここは信用できない部分とか，2千年以上も前のことだから人物の生年・没年も怪しい場合もある．結局，全体で数千ページに及ぶ書物を読み直す羽目に陥った．ああしんど．
続きを読む

　微分・積分においては極限や無限の議論が前面に躍り出てくる．というわけで，数学史の話を兼ねて，ゼノンのパラドックスのお話から導入するのが良いであろうと考えた．一連のかなり長い議論を経て，実数の連続性を厳密に議論する デデキントの切断 にまで辿り着いた．しかしながら，この手の議論はかなり高級な部類に属し，これを前提にして微積分を組み立てていくのは大学１年生には無理がある．それではどうするべきか．ああでもない，こうでもないと悩んでいたが，だいぶ頭が整理されてきた．
続きを読む

　10月初旬，草津温泉―白根山―上高地―富士山5合目 のルートで 紅葉の旅を満喫した．その途中で信州の小布施町に立ち寄ったが，そこには「北斎館」があった．なんと，江戸後期の浮世絵師 葛飾北斎 の没年近くの肉筆画も多数収蔵する美術館とのことであった．
続きを読む

　相加相乗平均に新証明法　高校教諭、運転中にひらめく という記事に触発されて，初等的証明の意義 というスレを書いてしまった．
続きを読む

　あらき先生の研究日誌 に 相加相乗平均に新証明法　高校教諭、運転中にひらめく という記事が載っていた（予備用サイト）．これは高校1年で誰もが習う 2項の相加相乗平均の定理を一般化したもの である．それの広く知られている証明法は初等的ではない．
続きを読む

　微分法の創始にあたるニュートンの流率法を回想してみよう．ニュートンは自然現象を究明する物理学者であった．“その究明は数学によって完全になされる”と彼は信じ，そして成し遂げたのであった．（ kkyamasita 氏の分かり易い解説で流率法を概観しておくと良いでしょう）．

　自然は時間と共に変化する．よって，自然を記述する量（ など）は‘ 時間の流れ に依存する変量’＝「流量」であり，その時間的瞬間変化率（ など）を彼は「流率」と呼び，流量のうえに・記号を付けて表した（ など）．続きを読む

　実数の連続性 を議論し，上（下）に有界な数の集合の上限（下限）の存在定理 を証明した．それらは

中間値の定理： 閉区間[ａ，ｂ] で 関数 ｆ(ｘ） が 連続 で，（簡単のために） ｆ(ａ）＜ｆ(ｂ）とする．
このとき，ｆ(ａ） と ｆ(ｂ） の中間の値 ｋ（ ｆ(ａ）＜ｋ＜ｆ(ｂ） ）に対して，ｆ(c） = ｋ を満足する c（ ａ＜c＜ｂ ）が開区間(ａ,ｂ） の中に存在する.

を証明する流れの中にあった．その定理の意味は 図から明らか であるが，厳密な数学的論理体系の下では証明されねばならない運命にあった (-_-;）．
続きを読む

続きを読む

　実数の連続性 再論 において，有理数の切断から出発して，実数の連続性を導いた．その内容は（厳密性はさておき）数学的証明であった．結局，‘実数’は‘切断’の理論によってどのように理解・納得できるのであろうか．
続きを読む